Question

12．已知等比数列{a_n}的公比q=2，且a₂，a₃+1，a₄成等差数列．
（1）求a₁及a_n；
（2）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前5项和S₅．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=2^n-1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）由已知得a₂=2a₁，a₃+1=4a₁+1，a₄=8a₁，
又a₂，a₃+1，a₄成等差数列，可得：
2（a₃+1）=a₂+a₄，
所以2（4a₁+1）=2a₁+8a₁，
解得a₁=1，
故a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）因为b_n=2^n-1+n，
所以S₅=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅
=（1+2+…+16）+（1+2+…+5）
=$\frac{1•（1-{2}^{5}）}{1-2}$+$\frac{5（1+5）}{2}$=31+15=46．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查解方程的思想和数列的求和方法：分组求和，属于中档题．