Question

1．一个长方体被一个平面所截，切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图所示，则截面面积为（　　）

• A． $\sqrt{141}$
• B． 2$\sqrt{141}$
• C． 16$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{141}$

Answer 1

分析 根据三视图求出长方体的长、宽、高，以及截面是平行四边形，由勾股定理求出边长、对角线的长，由余弦定理和平方关系，求出截面一个内角的正弦值，由三角形的面积公式求出截面的面积．

解答 解：根据几何体的三视图得：且E、F分别是棱的中点，
该长方体的长、宽、高分别为：AB=5、AD=4、CP=4，被平面AFPE分成两部分，
∵E、F分别是棱的中点，
∴截面AFPE是平行四边形，
PE=$AF=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，PF=AE=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
EF=DB=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
在△AEF中，由余弦定理得cos∠EAF=$\frac{A{E}^{2}+A{F}^{2}-E{F}^{2}}{2•AE•AF}$
=$\frac{29+20-41}{4\sqrt{5}•\sqrt{29}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{29}}$=$\frac{2}{\sqrt{145}}$，
∴sin∠EAF=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠EAF}$=$\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{145}}$，
∴截面AFPE面积S=$2×\frac{1}{2}•AE•AF•sin∠EAF$
=$\sqrt{29}×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{145}}$=$2\sqrt{141}$，
故选：B．

点评 本题考查几何体的三视图，余弦定理、平方关系，三角形的面积公式等，由三视图正确判断几何体结构特征是解题的关键，考查空间想象能力．