Question

11．用部分自然数构造如图的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N₊），使得a_i1=a_ii=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，a_（i+1）j=a_i（j-1）+a_ij（i≥2，j≥2）．设第n（n∈N₊）行的第二个数为b_n（n≥2）．
（1）写出第7行的第三个数； 
（2）写出b_n+1与b_n的关系并求b_n（n≥2）；
（3）设c_n=2（b_n-1）+n，证明：$\frac{1}{c_2}$+$\frac{1}{c_4}$+$\frac{1}{c_6}$+…+$\frac{1}{{{c_{2n}}}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接计算即得结论；
（2）通过对b_n+1=b_n+n变形可知b_n+1-b_n=n，进而累加计算即得结论；
（3）通过（2）可知c_n=n²，放缩可知$\frac{1}{{c}_{2k}}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$），进而累加计算即得结论．

解答 （1）解：第7行的第三个数为41；
（2）解：由已知得b_n+1=b_n+n，
∴当n≥2时，b₃-b₂=2，b₄-b₃=3，…，b_n+1-b_n=n，
累加，得：b_n+1-b₂=2+3+4+…+n，
∴b_n+1=1+（1+2+3+4+…+n）=1+$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${b_n}=1+\frac{n（n-1）}{2}（{n≥2}）$；
（3）证明：由（2）${c_n}=2（{{b_n}-1}）+n={n^2}$，
∵$\frac{1}{{{c_{2k}}}}=\frac{1}{{4{k^2}}}＜\frac{1}{{4{k^2}-1}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}}）$，
∴$\frac{1}{c_2}+\frac{1}{c_4}+\frac{1}{c_6}+…+\frac{1}{{{c_{2n}}}}＜\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查累加法、裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．