Question

13．已知点P在直径为$\sqrt{2}$的球面上，过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，若PA=PB，则PA+PB+PC的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． 3

Answer 1

分析 由已知，PA，PB，PC两两垂直，点P在直径为$\sqrt{2}$的球面上，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，得到2PB²+PC²=2，再结合三角换元法，由三角函数的性质得到PA+PB+PC的最大值．

解答 解：∵PA，PB，PC两两垂直，点P在直径为$\sqrt{2}$的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴2=PA²+PB²+PC²，又PA=PB，∴2PB²+PC²=2，
设PB=cosα，PC=$\sqrt{2}$sinα，
则PA+PB+PC=2PB+PC=2cosα+$\sqrt{2}$sinα=$\sqrt{6}$sin（α+φ）≤$\sqrt{6}$．
则PA+PB+PC的最大值为$\sqrt{6}$，
故选：A．

点评 本题考查球的内接几何体，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．