Question

18．已知直线3x+4y+c=0与圆心为C的圆x²+（y-1）²=2相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数c等于1或-9．

Answer 1

分析 依题意△ABC为等腰直角三角形，且AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2+2}$=2，圆心C（0，1）到直线AB：3x+4y+c=0的距离为AB的一半，由此能求出结果．

解答 解：∵直线3x+4y+c=0与圆心为C的圆x²+（y-1）²=2相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，
∴依题意△ABC为等腰直角三角形，且AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2+2}$=2，
∴圆心C（0，1）到直线AB：3x+4y+c=0的距离为AB的一半，
∴$\frac{|4+c|}{\sqrt{9+16}}$=1，即$\frac{|4+c|}{5}=1$，解得c=1或c=-9．
故答案为：1或-9．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．