Question

已知数列{a_n}，满足a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，a₁=1，a₂=5
（1）求证：数列{a_n+1-3a_n}和{a_n+1-4a_n}均为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：

n

i=1

i

ai

＜

16

9

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，能推导出a_n+2-3a_n+1=4（a_n+1-3a_n），a_n+2-4a_n+1=3（a_n+1-4a_n），由此能证明数列{a_n+1-3a_n}和{a_n+1-4a_n}均为等比数列．
（Ⅱ）由{a_n+1-3a_n}的通项公式和{a_n+1-4a_n}的通项公式相减之差能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由an=2•4n-1-3n-1＞4^n-1，得到

n

an

=

n

2•4n-1-3n-1

＜

n

4n-1

=n•(

1

4

)n，由此利用放缩法和错位相减法能证明

n

i=1

i

ai

＜

16

9

．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，a₁=1，a₂=5，
∴a_n+2-3a_n+1=4（a_n+1-3a_n），
∴{a_n+1-3a_n}首项为a2 -3a1=5-3=2，公比为4的等比数列，
∵a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，a₁=1，a₂=5，
∴a_n+2-4a_n+1=3（a_n+1-4a_n），
∴{a_n+1-4a_n}是首项为a₂-4a₁=5-4=1，公比为3的等比数列．
（Ⅱ）∵{a_n+1-3a_n}首项为a2 -3a1=5-3=2，公比为4的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=2•4^n-1，
∵{a_n+1-4a_n}是首项为a₂-4a₁=5-4=1，公比为3的等比数列，
∴a_n+1-4a_n=3^n-1，
∴a_n=2•4^n-1-3^n-1（n∈N^*）．
（Ⅲ）证明：∵an=2•4n-1-3n-1＞4^n-1，
∴

n

an

=

n

2•4n-1-3n-1

＜

n

4n-1

=n•(

1

4

)n，
∴

n

i=1

i

ai

＜

n

i=1

i•(

1

4

)i-1，
设S_n=

n

i=1

i•(

1

4

)i-1=1+2•

1

4

+3•（

1

4

）²+…+n•（

1

4

）^n-1，①

1

4

Sn=

1

4

+2•(

1

4

)2+3•(

1

4

)3+…+n•(

1

4

)n，②
①-②，得：

3

4

Sn=1+

1

4

+(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n-1-n•(

1

4

)n
=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-n•(

1

4

)n
=

4

3

[1-(

1

4

)n]-n•(

1

4

)n，
∴S_n=

16

9

[1-(

1

4

)n]-

4

3

n•(

1

4

)n＜

16

9

．
∴

n

i=1

i

ai

＜

n

i=1

i•(

1

4

)i-1＜

16

9

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于定值的证明，综合性强，对数学的思维能力要求较高．