Question

（本小题满分14分）已知函数（）．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）设，求证：当时，；

（3）若函数恰有两个零点，（），求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）见解析；（3）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）当时,, ，进一步求函数在切点处的导数，即切线的斜率，得到切线方程.

（2）当时，设

应用导数研究函数的单调性得：函数在上单调递增，在上是单调递减

根据，即得证.

（3）由得.

讨论当时，当时，在的单调性，确定.

通过，由得解得，得到实数的取值范围.

试题解析：（1）当时,,

,

函数的图象在点处的切线方程为

即 4分

（2）当时，设

则，

当时，；当时，.

因此，函数在上单调递增，在上是单调递减

得，即. 9分

（3）由得.

当时则在上是单调递增，

因此函数至多只有一个零点，不符合题意. 10分

当时，由得

因此，在上是单调递增，在上是单调递减，

所以.

一方面，当从右边趋近于0时，；

当时，

因此， 11分

另一方面，由得，即

因此，

很明显在上是单调递增且

根据题意得 ，

即方程有且只有一个大于1的正实数根.

设，由得解得

所以，实数的取值范围是 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最值、函数的零点.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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