函数f(x)=-2sin2x+sin2x+1.给出下列四个命题:①在区间[$\frac{π}{8}.\frac{5π}{8}$]上是减函数,②直线x=$\frac{π}{8}$是函数图象的一条对称轴,③函数f(x)的图象可由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位得到,④若x∈[0.$\frac{π}{2}$].则f(x)的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．函数f（x）=-2sin²x+sin2x+1，给出下列四个命题：
①在区间[$\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}$]上是减函数；
②直线x=$\frac{π}{8}$是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则f（x）的值域是[0，$\sqrt{2}$]．
其中，正确的命题的序号是（　　）

A．

①②

B．

②③

C．

①④

D．

③④

分析将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数y=f（x）图象的单调区间、对称轴、平移、值域．

解答解：$f（x）=cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
①求函数的单调减区间：$\frac{π}{2}+2kπ＜2x+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{2}+2kπ$
∴$\frac{π}{8}+kπ＜x＜\frac{5π}{8}+kπ（k∈Z）$，∴①正确；
②求函数的对称轴为：2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$∴$x=\frac{π}{8}+\frac{1}{2}kπ（k∈Z）$∴②正确；
③由y=$\sqrt{2}sin2x$向左平移$\frac{π}{8}$个单位后得到$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，∴③不正确；
④当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$∴$f（x）∈[-1，\sqrt{2}]$∴④不正确．
故正确的是①②，故选：A．

点评本题考查了三角函数图象和性质，属于易考题．

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