Question

11．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2$\sqrt{2}$，则该球的体积为$\frac{125}{6}$π．

Answer 1

分析 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的体积．

解答 解：如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA²=PF•PE，
因为AE=2，
所以侧棱长PA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，PF=2R，
所以20=2R×4，所以R=$\frac{5}{2}$，
所以球的体积V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{125}{6}$π
故答案为：$\frac{125}{6}$π．

点评 本题考查球的体积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．