Question

16．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰三角形，且平面B₁BCC₁⊥平面ABC，C₁B⊥BC，M是线段AB上的点，且∠ACM=∠BCM=60°，CA=CB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C₁B．
（Ⅰ）求证：CM⊥AC₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面B₁CM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出CM⊥AB，CM⊥C₁B，由此能证明AC₁⊥CM．
（Ⅱ）以B为原点，BC为x轴，过B在平面ABC内作BC的垂线为y轴，BC₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线CC₁与平面B₁CM所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰三角形，且平面B₁BCC₁⊥平面ABC，C₁B⊥BC，
M是线段AB上的点，且∠ACM=∠BCM=60°，CA=CB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$C₁B，
∴C₁B⊥底面ABC，CM⊥AB，∴CM⊥C₁B，
又AB∩C₁B=B，∴CM⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，∴AC₁⊥CM．
解：（Ⅱ）设AC=BC=1，则BC₁=$\sqrt{3}$，CC₁=2，∠BCC₁=60°，
以B为原点，BC为x轴，过B在平面ABC内作BC的垂线为y轴，BC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
C（1，0，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），
B₁（-1，0，$\sqrt{3}$），M（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
设平面B₁CM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-2x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
设直线CC₁与平面B₁CM所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{C{C}_{1}}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}+2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{8}$，
∴直线CC₁与平面B₁CM所成角的正弦函数值：$\frac{\sqrt{6}}{8}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．