Question

20．如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=4，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．
（1）求证：面FEB⊥面CEB；
（2）若二面角D-AF-C的大小为$\frac{π}{4}$，求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出AC，得出AC⊥BC，又AC⊥CE得出AC⊥平面BCE，于是EF⊥平面BCE，故而平面BEF⊥平面BCE；
（2）以C为原点建立坐标系，设CE=h，求出平面ADF和平面ACF的法向量$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CB}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CB}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$解出h，于是几何体ABCDEF的体积V=V_D-ACEF+V_B-ACEF．

解答 证明：（1）∵AB=4，BC=2，∠ABC=60°，∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos60°}$=2$\sqrt{3}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵CE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴CE⊥AC，又CE?平面BCE，BC?平面BCE，DE∩BC=C，
∴AC⊥平面BCE，
∵AC∥EF，∴EF⊥平面BCE，
又EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面BCE．
（2）以C为原点，以CA，CB，CE为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
设CE=h，则C（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，0，0），F（$\sqrt{3}$，0，h），D（$\sqrt{3}$，-1，0），B（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，0，h），
设平面ADF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x-y=0}\\{-\sqrt{3}x+hz=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（h，-$\sqrt{3}$h，$\sqrt{3}$）．
∵BC⊥平面ACEF，∴$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0）为平面ACF的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}h}{2•\sqrt{4{h}^{2}+3}}$=-$\frac{\sqrt{3}h}{\sqrt{4{h}^{2}+3}}$．
∴$\frac{\sqrt{3}h}{\sqrt{4{h}^{2}+3}}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．即CE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴V_D-ACEF=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ACEF}•|{y}_{D}|$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{3}+2\sqrt{3}）×\frac{\sqrt{6}}{2}×1$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
V_B-ACEF=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ACEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{3}+2\sqrt{3}）×\frac{\sqrt{6}}{2}×2$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴几何体ABCDEF的体积V=V_D-ACEF+V_B-ACEF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．