Question

19．由曲线y=-x²+x+2与其在点A（2，0）和点B（-1，0）处的切线所围成图形的面积为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 欲求切线的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合A（2，0）和点B（-1，0）都在抛物线上，即可求出切线的方程，然后可得直线与抛物线的交点的坐标和两切线与x轴交点的坐标，最后根据定积分在求面积中的应用公式即可求得所围成的面积S即可．

解答 解：对y=-x²+x+2求导可得，y′=-2x+1
∴抛物线=-x²+x+2在点A（2，0）和点B（-1，0）处的两条切线的斜率分别为-3，3
从而可得曲线y=-x²+x+2在点A（2，0）和点B（-1，0）处的两条切线方程分别为
l₁：3x+y-6=0，l₂：3x-y+3=0
联立，求得交点C（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
所以S=S_△ABC-${∫}_{-1}^{2}$（-x²+x+2）dx=$\frac{1}{2}×3×\frac{9}{2}$-（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2x）${|}_{-1}^{2}$=$\frac{27}{4}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．