Question

1．解下列各题：
（1）求下列椭圆5x²+9y²=100的焦点和顶点的坐标；
（2）求抛物线 y²-6x=0的焦点坐标，准线方程和对称轴；
（3）求焦点在x轴上，两顶点间的距离是8，e=$\frac{5}{4}$的 双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）化椭圆方程为标准方程，即可求得焦点和顶点的坐标；
（2）化抛物线方程为标准方程，求得p，即可求得焦点坐标，准线方程和对称轴；
（3）由题意设出双曲线的标准方程，进一步求得a，b得答案．

解答 解：（1）由椭圆5x²+9y²=100，得$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{\frac{100}{9}}=1$，
∴${a}^{2}=20，{b}^{2}=\frac{100}{9}$，${c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=20-\frac{100}{9}=\frac{80}{9}$．
∴椭圆5x²+9y²=100的焦点为（±$\frac{4\sqrt{5}}{3}，0$），顶点坐标分别为（±2$\sqrt{5}$，0），（0，±$\frac{10}{3}$）；
（2）由抛物线 y²-6x=0，得y²=6x，则p=3，$\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$，
抛物线的焦点坐标为F（$\frac{3}{2}，0$），准线方程为x=-$\frac{3}{2}$，对称轴方程为y=0；
（3）由题意可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，且2a=8，$\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，
∴a=4，c=5，b²=c²-a²=9，则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查圆锥曲线的简单性质，考查对圆锥曲线基础知识的记忆与应用，是基础题．