Question

12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=-f（x）=f（4-x），当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x²-x+b）．若函数f（x）在区间[-2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是$\frac{1}{4}＜b≤1$或$b=\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 判断函数是奇函数和函数的周期性，可得0、±2是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围．

解答 解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，
所以f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），则f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，
且当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x²-x+b），
所以当x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，
即$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4b＜0}\\{（\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4b＜0}\\{{0}^{2}-0+b-1≤0}\\{{2}^{2}-2+b-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$＜b≤1或b=$\frac{5}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}＜b≤1$或$b=\frac{5}{4}$．

点评 本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．