Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上一动点P，F为其右焦点，椭圆内一定点A（0，$\frac{1}{2}$），则|AP|+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|AF|的最小值（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据椭圆方程绘出图形，过点P向椭圆右准线做垂线，垂足为B，根据椭圆方程求得离心率和准线方程，再根据椭圆的定义找到取得最值的状态求解．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1方程，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右准线为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由|AP|+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|AF|即为|AP|+$\frac{1}{e}$|AF|，
|∴根据椭圆的第二定义：
过A作右准线的垂线，交于B点，
则|AP|+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|AF|的最小值为|AB|．
∵|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴|PA|+2|PF|的最小值为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案选：C．

点评 本题考查椭圆的第二定义来求最值，主要考查了椭圆性质的应用，考查了学生对椭圆基本知识的理解和应用，属于中档题．