Question

11．已知f（x）=$\frac{x+2}{x-6}$．
（1）若f（a）=2，求a及f（3）的值；
（2）求g（x）=f（x+6）的解析式；
（3）判断g（x）在[1，4]上的单调性并求出其值域．

Answer 1

分析 （1）解$\frac{a+2}{a-6}=2$即可求出a的值，x=3带入f（x）解析式即可求出f（3）；
（2）f（x）中的x换上x+6即可求出f（x+6），即得出g（x）=1+$\frac{8}{x}$，（x≠0）；
（3）根据反比例函数$y=\frac{8}{x}$的单调性即可判断出g（x）在[1，4]上单调递减，从而便可得出其值域．

解答 解：（1）由题意，$\frac{a+2}{a-6}=2$，解得，a=14；
$f（3）=\frac{3+2}{3-6}=-\frac{5}{3}$；
（2）$g（x）=f（x+6）=\frac{x+6+2}{x+6-6}=\frac{x+8}{x}=1+\frac{8}{x}$，（x≠0）；
∴$g（x）=1+\frac{8}{x}（x≠0）$；
（3）g（x）在[1，4]上单调递减，且g（1）=9，g（4）=3；
∴g（x）的值域为[3，9]．

点评 考查已知函数值求自变量值的方法，已知函数求值的方法，已知f（x）求f[g（x）]的方法，以及反比例函数的单调性，根据单调性求函数在闭区间上值域的方法．