Question

20．设函数f（x）=alnx-x，g（x）=ae^x-x，其中a为正实数．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）都没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出a的范围即可；
（Ⅱ）分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a-x}{x}$（x＞0，a＞0），
∵0＜x＜a时，f′（x）＞0；x＞a时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（，a）上是增函数，在（a，+∞）上是减函数，又f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴0＜a≤1，
又g′（x）=ae^x-1，
∴x＞ln$\frac{1}{a}$时，g′（x）＞0，x＜ln$\frac{1}{a}$时，g′（x）＜0，
∴x=ln$\frac{1}{a}$时，g′（x）最小，∴ln$\frac{1}{a}$＞2时，
∴0＜a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，∴a∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x=a时，f（x）取得最大值，x=ln$\frac{1}{a}$，g（x）取得最小值，
由题意可得f（a）＜0且g（ln$\frac{1}{a}$）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{alna-a＜0}\\{a•\frac{1}{a}-ln\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{e}$＜a＜e即a∈（$\frac{1}{e}$，e）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．