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如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大,并求出此最大值?

小正方形边长为1时,盒子体积最大为18。

解析试题分析:设小正方形的边长为厘米,则盒子底面长为,宽为
)  .    6分
(舍去)
,在定义域内仅有一个极大值,        
故,小正方形边长为1时,盒子体积最大为18       .   12分
考点:本题主要考查长方体体积公式,函数模型,应用导数研究函数的最值。
点评:中档题,利用长方体体积公式,构建函数模型,再利用导数研究函数的最值,从而解决实际问题。属于常见题目。当函数的驻点只有一个是,这既是极值点,也是最值点。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,曲线在点处的切线为,若时,有极值.
(1)求的值;
(2)求上的最大值和最小值.

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已知函数
⑴解不等式
⑵若不等式的解集为空集,求的取值范围.

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已知函数
(Ⅰ)解不等式:
(Ⅱ)若,求证:.

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现需要制作一个容积为32的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,问底面半径多大时桶的总造价最小?

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为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

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某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本,预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本与科技成本的投入次数的关系是.若水晶产品的销售价格不变,第次投入后的年利润为万元.
( 1 )求的表达式;
( 2 )问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

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计算:
(1) 
(2)

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现在人们经常使用电脑,若坐姿不正确,易造成眼睛疲劳,腰酸颈痛.一般正确的坐姿是:眼睛望向显示器屏幕时,应成20°的俯角α(即望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角);而小臂平放,肘部形成100°的钝角β.张燕家刚买的电脑显示器屏幕的高度为24.5cm,屏幕的上边缘到显示器支座底部的距离为36cm.已知张燕同学眼部到肩部的垂直距离为20cm,大臂长(肩部到肘部的距离)DE=28cm,张燕同学坐姿正确时肩部到臀部的距离是DM=53cm,请你帮张燕同学计算一下:
(1)她要按正确坐姿坐在电脑前,眼与显示器屏幕的距离应是多少?(精确到0.1cm)
(2)她要订做一套适合自己的电脑桌椅,桌、椅及键盘三者之间的高度应如何搭配?(精确到0.1cm)

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