Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$cos\frac{A}{2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=15$．
（1）求△ABC的面积；
（2）若tanB=2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）cosA=2$co{s}^{2}\frac{A}{2}$-1，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．再利用数量积运算性质可得bc．利用面积计算公式即可得出．
（2）tanA=$\frac{4}{3}$，利用tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-2．△ABC中，tanC=-tan（A+B），及其余弦定理即可得出．

解答 解：（1）cosA=2$co{s}^{2}\frac{A}{2}$-1=$\frac{3}{5}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
∴bc×$\frac{3}{5}$=15，可得bc=25．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×25×\frac{4}{5}$=10．
（2）由tanA=$\frac{4}{3}$，tanB=2，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-2．
∴△ABC中，tanC=-tan（A+B）=2，
即B=C．∴b=c=5．
∴a²=b²+c²-2bccosA=20，解得a=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．