Question

等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝(如图①)．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁－DE－B为直二面角，连接A₁B，A₁C(如图②)．

(1)求证：A₁D⊥平面BCED；

(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)证明：因为等边△ABC的边长为3，且＝＝，

所以AD＝1，AE＝2.

在△ADE中，∠DAE＝60°，

由余弦定理，得

DE＝＝.

因为AD²＋DE²＝AE²，

所以AD⊥DE.

折叠后有A₁D⊥DE，因为二面角A₁－DE－B是直二面角，

所以平面A₁DE⊥平面BCED，

又平面A₁DE∩平面BCED＝DE，A₁D⊂平面A₁DE，A₁D⊥DE，

所以A₁D⊥平面BCED.

(2)假设在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，

如图，作PH⊥BD于点H，连接A₁H，A₁P，

由(1)知，A₁D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，

所以A₁D⊥PH，又A₁D∩BD＝D，所以PH⊥平面A₁BD，所以∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，

设PB＝x(0≤x≤3)，

则BH＝，PH＝x，

在Rt△PA₁H中，∠PA₁H＝60°，所以A₁H＝x，在Rt△A₁DH中，A₁D＝1，DH＝2－x，由A₁D²＋DH²＝A₁H²，得1²＋，解得x＝，满足0≤x≤3，符合题意，所以在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，此时PB＝.