Question

8．已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ、ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{10}$
（Ⅰ）求曲线C₁、C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）将曲线C₁横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移1个单位，得到曲线C₃，求曲线C₃上的点到曲线C₂上的点的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得曲线C₁、C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₃的方程为4x²+y²=4，设曲线C₃上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．

解答 解：（Ⅰ）ρ=4cosθ得出ρ²=4ρcosθ，直角坐标方程为x²+y²=4x；$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\sqrt{10}$，即y-x=2$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）将曲线C₁横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，再向左平移1个单位，得到曲线C₃的方程为4x²+y²=4，
设曲线C₃上的任意点（cosθ，2sinθ）
到曲线C₂的距离d=$\frac{|cosθ-2sinθ+2\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{5}-\sqrt{5}sin（θ+φ）|}{\sqrt{2}}$．
当sin（θ+φ）=1时，到曲线C₂距离的最小值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中档题．