Question

已知：a+b+c=1，a，b，c＞0．
（1）求证：abc≤

1

27

；
（2）求证：a2+b2+c2≥

3	abc

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）直接利用均值不等式即可证明；
（2）利用（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，变形可得3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，再利用（1）的结论即可得出．

解答： 证明：（1）∵a+b+c=1，a，b，c＞0．∴1≥3

3	abc

，∴abc≤

1

27

．当且仅当a=b=c=

1

3

取等号．
（2）∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc．当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号．
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，∴a2+b2+c2≥

1

3

，
由（1）可得abc≤

1

27

，
∴

1

3

≥

3	abc

．
∴a2+b2+c2≥

3	abc

．当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号．

点评：本题考查了均值不等式及3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²的应用，属于基础题．