Question

5．设函数$f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为π，且$f（x+\frac{π}{6}）$是偶函数，则（　　）

• A． f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$单调递增
• B． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3}{4}π）$单调递增
• C． f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$单调递减
• D． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3}{4}π）$单调递减

Answer 1

分析 利用三角恒等变换求出f（x）的解析式，根据正弦函数在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）和（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$）上的单调性判断f（x）在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$）和（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上的单调性．

解答 解：f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+Φ+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∵f（x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$+Φ+$\frac{π}{4}$）是偶函数，
∴$\frac{π}{3}$+Φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得Φ=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
又|Φ|＜$\frac{π}{2}$，∴Φ=-$\frac{π}{12}$．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴当x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$）时，2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
当x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）时，2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∵y=sinx在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，在（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$）上不单调，
∴f（x）在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$）上单调递增，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上不单调．
故选A．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．