Question

15．设x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤1\end{array}$，若目标函数z=2x+y的最大值为M，则式子2${\;}^{lo{g}_{2}M}$+log₂M的值为11．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得M，再由对数的运算性质得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2}\\{x+y≥1}\\{x-y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图：

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得A（3，2），
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值M=8．
∴${2}^{lo{g}_{2}M}+lo{g}_{2}M={2}^{lo{g}_{2}8}+lo{g}_{2}8$=8+3=11．
故答案为：11．

点评 本题考查极大的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．