Question

【题目】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|

（1）若f（1）≥2，求实数a的取值范围

（2）若不等式f（x）≤x对任意x[2，]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，0]∪[4，+∞）；(2) [4，5]．

【解析】

（1）考查绝对值不等式的基本解法（零点分段法），对于一个绝对值的问题可以直接去掉绝对值；（2）此问考查不等式恒成立求参问题，常用方法时分离参数求函数最值或值域．

（1）由于f（1）＝|2﹣a|≥2，则a﹣2≥2或者a﹣2≤﹣2，所以a≥4或者a≤0，

故实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）；

（2）不等式f（x）≤x对任意恒成立，此时f（x）≤x可化为：

|2x﹣a|+x﹣1≤x，即|2x﹣a|≤1，也即a﹣1≤2x≤a+1对任意恒成立，

所以a﹣1≤（2x）min＝4且a+1≥（2x）max＝5，

即4≤a≤5，

故实数a的取值范围为[4，5]．