Question

【题目】若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“和一点”.

（1）函数是否有“和一点”？请说明理由；

（2）若函数有“和一点”，求实数的取值范围；

（3）求证：有“和一点”.

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）见解析

【解析】

（1）解方程即可判断；

（2）由题转化为2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分离参数a＝2x﹣2求值域即可求解；

（3）由题意判断方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．

（1）若函数有“和一点”，则不合题意

故不存在

（2）若函数f（x）＝2x+a+2x有“和一点”.

则方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，

即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，

即a＝2x﹣2有解，

故a＞﹣2；

（3）证明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），

即cos（x+1）＝cosx+cos1，

即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，

即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，

故存在θ，

故cos（x+θ）＝cos1，

即cos（x+θ）＝cos1，

即cos（x+θ），

∵cos21﹣（2﹣2cos1）

＝cos21+2cos1﹣2

＜cos22cos22＜0，

故01，

故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，

即f（x）＝cosx函数有“和一点”.