【题目】如图,已知矩形中, 、分别是、上的点, ,,是的中点,现沿着翻折,使平面平面.
(Ⅰ)为的中点,求证:平面.
(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)见解析;(2)异面直线AD与BC的所成角为.
【解析】
(1)取的中点,根据线面平行判定定理得∥平面,∥平面,再根据面面平行判定定理得平面∥平面,最后得结论,(2)先根据等腰三角形性质得AP⊥DE,再根据面面垂直性质定理得⊥平面,最后根据等体积法求点到平面的距离.
(Ⅰ)取的中点,连接,,易证∥,
∴∥平面.
∵是△的中位线,∴∥,
,∴∥平面.
,
∴平面∥平面, ∥平面.
(Ⅱ)连接AP、PB,∵AD=AE,点P为DE的中点,∴AP⊥DE,
∵平面ADE⊥平面BCDE,平面平面 ,
⊥平面,⊥.
根据余弦定理可求得 ,
同理可求得 ,
同理可求得 , , ,
三棱锥 的高为 , ,设点P到平面距离为d, , , .
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【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 90° D. 60°
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【题目】要得到函数的图象,只要将函数的图象( )
A.每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个长度
B.每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个长度
C.向左平移个长度,再将所得图象每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)
D.向左平移个长度,再将所得图象每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)
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【题目】在下列命题中:
①方程表示的曲线所围成区域面积为;
②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为;
③与两定点距离之和等于的点的轨迹为椭圆;
④与两定点距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线.
正确的命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,,直线:(为参数,).
(Ⅰ)求直线的普通方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线的距离最短,并求出点的极坐标.
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【题目】某地区上年度电价为元/kWh,年用电量为kWh.本年度计划将电价降低到0.55元/ kWh到0.75元/ kWh之间,而用户期望电价为0.40元/ kWh.经测算,下调电价后新增用电量与实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为),该地区电力的成本价为0.30元/ kWh.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益与实际电价之间的函数关系式;
(2)设=,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%?(注:收益=实际电量×(实际电价-成本价))
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【题目】若在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“和一点”.
(1)函数是否有“和一点”?请说明理由;
(2)若函数有“和一点”,求实数的取值范围;
(3)求证:有“和一点”.
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【题目】某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图(物理成绩用表示,化学成绩用表示)(图1)和生物成绩的茎叶图(图2).
(图1)
住校生 非住校生
2 6
9 8 5 4 4 3 1 7 4 5 7 7 9 9
6 5 8 2 2 5 7
(图2)
(1)若物理成绩高于90分,我们视为“优秀”,那么以这20人为样本,从物理成绩优秀的人中随机抽取2人,求至少有1人是住校生的概率;
(2)若化学成绩高于80分,我们视为“优秀”,根据图1完成如下列联表,并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关;
住校 | 非住校 | |
优 秀 | ||
非优秀 |
附:(,其中)
(3)若生物成绩高于75分,我们视为“良好”,将频率视为概率,若从全年级学生中任选3人,记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量,求出的分布列和数学期望.
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