【题目】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【答案】(1)详见解析(2)-2
【解析】
(1)本题中,需要证明的是函数的增减性,则需要回归定义,从定义出发,根据增减性采用合适的拼凑法来进行证明
(2)抽象函数函数值的求法需要通过合理赋值求得,需要考虑函数的增减性。
(1)证明:设x1,x2是任意的两个实数,且x1<x2,
则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,
又因为x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<f(x1).
所以f(x)是R上的单调减函数.
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
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【题目】某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表.
百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等级 | A | B | C | D |
规定:A,B,C三级为合格等级,D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.
按照,
,
,
,
的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示
求n和频率分布直方图中的x,y的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率;
根据频率分布直方图,求成绩的中位数
精确到
;
在选取的样本中,从A,D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研,求至少有一名学生是A等级的概率.
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【题目】(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:
学生 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 |
甲班 | 6 | 5 | 7 | 9 | 8 |
乙班 | 4 | 8 | 9 | 7 | 7 |
(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);
(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,单位圆
上存在两点
,满足
均与
轴垂直,设
与
的面积之和记为
.
若
,求
的值;
若对任意的
,存在
,使得
成立,且实数
使得数列
为递增数列,其中
求实数
的取值范围.
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【题目】(2009四川卷文)设矩形的长为,宽为
,其比满足
∶
=
,这种矩形给人以美感,称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:
甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值0.618比较,正确结论是
A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近
B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近
C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
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【题目】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后,种植收入减少
B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
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【题目】如图,在中,
,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且
,
,将
沿AB折起使得二面角
是直二面角.
(l)求证:CD平面PAB;
(2)求直线PE与平面PCD所成角的正切值.
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【题目】下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A. 在数列|中,
由此归纳出
的通项公式
B. 由平面三角形的性质,推测空间四面体性质
C. 某校高二共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人
D. 两条直线平行,同旁内角互补,如果和
是两条平行直线的同旁内角,则
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