Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

 

 

Answer 1

(1）；（2).

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：【解析】
（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

依题意　解得　

∴椭圆方程为.[

（2）假若存在这样的k值，由得．

∴　　　　　①

设，、，，则　　　　　②

而．

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即 ∴　　　　③

将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立.

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E.

考点：(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合问题.