Question

6．如图，已知半圆O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，且BC=1，P是半圆上动点，以PC为一边作等腰直角三角形PCK（K为直角顶点，且K和O在PC的两侧）．
（1）求四边形OPKC面积的最大值；
（2）设t=$\frac{△POC的面积}{△PCK的面积}$，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）可以设∠POB=θ，四边形面积为y，然后，建立关系式，构造面积关系式，最后利用三角函数知识求解最值；
（2）由t=$\frac{△POC的面积}{△PCK的面积}$=$\frac{4sinθ}{5-4cosθ}$，由半角公式及同角三角函数基本关系，求得t═$\frac{8tan\frac{θ}{2}}{9ta{n}^{2}\frac{θ}{2}+1}$=$\frac{8}{9tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}$≤$\frac{8}{2×\sqrt{9tan\frac{θ}{2}•\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}}$=$\frac{4}{3}$，即可求得t的最大值．

解答 解：（1）设∠POC=θ，0＜θ＜π，
则在△POC中，由余弦定理得：PC²=OP²+OC²-2OP•OCcosθ=5-4cosθ．
∴PC²=5-4cos θ，…（4分）
S_OPKC=S_△OPC+S_△PCD=$\frac{1}{2}$×1×2sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）
=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时，四边形OPKC面积的最大值；，
最大值为：2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
（2）t=$\frac{△POC的面积}{△PCK的面积}$，
=$\frac{4sinθ}{5-4cosθ}$，
=$\frac{8sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{5（si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2}）-4（co{s}^{2}\frac{θ}{2}-si{n}^{2}\frac{θ}{2}）}$，
=$\frac{8sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}{9si{n}^{2}\frac{θ}{2}+co{s}^{2}\frac{θ}{2}}$，
=$\frac{8tan\frac{θ}{2}}{9ta{n}^{2}\frac{θ}{2}+1}$，
=$\frac{8}{9tan\frac{θ}{2}+\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}$≤$\frac{8}{2×\sqrt{9tan\frac{θ}{2}•\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}}}$=$\frac{4}{3}$，
当且仅当tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{3}$时，取“=”，
t的最大值为：$\frac{4}{3}$，

点评 本题重点考查了三角函数的辅助角公式、三角恒等变换等知识，基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．