Question

1．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=2，则当cosC取得最小值时，a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可．．

解答 解：△ABC中，∵sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，∴a+$\sqrt{2}$b=2c，
两边平方得：（a+$\sqrt{2}$b）²=4c²，即a²+2$\sqrt{2}$ab+2b²=4c²，
即a²+b²-c²=3c²-b²-2$\sqrt{2}$ab=3•${（\frac{a+\sqrt{2}b}{2}）}^{2}$-b²-2$\sqrt{2}$ab=$\frac{{3a}^{2}+{2b}^{2}-2\sqrt{2}ab}{4}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{3a}^{2}+{2b}^{2}-2\sqrt{2}ab}{8ab}$=$\frac{3}{8}•\frac{a}{b}$+$\frac{1}{4}•\frac{b}{a}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{3a}{8b}•\frac{b}{4a}}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{3a}{8b}$=$\frac{b}{4a}$，即当a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，b=2时，cosC 取得最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．