Question

9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，$∠A=\frac{π}{3}$，AC=4，AA₁=4，M为AA₁的中点，P为BM的中点，Q在线段CA₁上，A₁Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{39}}}{13}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
• C． $\frac{{2\sqrt{39}}}{13}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{13}$

Answer 1

分析 由条件即可分别以CA，CB，CC₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据条件即可求出图中一些点的坐标，进而得出向量$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}$的坐标，从而可求出cos$＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}＞$，这样便可求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．

解答 解：根据条件知，CA，CB，CC₁三直线两两垂直，
分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：C（0，0，0），A（4，0，0），B（$0，4\sqrt{3}，0$），
A₁（4，0，4），M（4，0，2），$P（2，2\sqrt{3}，1）$，
Q（1，0，1）；
∴$\overrightarrow{PQ}=（-1，-2\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（-4，0，0）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AC}=4，|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{13}，|\overrightarrow{AC}|=4$；
∴$cos＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{4}{\sqrt{13}×4}=\frac{1}{\sqrt{13}}$；
∴sin$＜\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$；
即异面直线PQ与AC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
故选C．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决几何问题的方法，能求空间上点的坐标，中点坐标公式，根据点的坐标能求向量坐标，向量夹角的余弦公式．