Question

4．某班A，B，C，D，E5个同学先坐好，然后玩坐座位的游戏，当坐回自己原来的位置上称为“坐对”，否则称作“坐错“．
（1）求只有两个人“坐对”的概率；
（2）若每“坐对”一个人得1分，“坐错“得-1分，设5人得分和的绝对值为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）从5人中任选2人坐对，其余三人全做错只有2种情况，从而得出概率；
（2）分别计算每种情况的概率和得分，从而得出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）若只有两人坐对，则另外三人全坐错，
∴只有两人坐对的概率为P=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{6}$．
（2）设事件A_n表示有n个人坐对位置，n=0，1，2，3，5
则P（A₁）=$\frac{{C}_{5}^{1}×9}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{3}{8}$，
P（A₂）=$\frac{1}{6}$，
P（A₃）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{12}$，
P（A₅）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$，
∴P（A₀）=1-$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{120}$=$\frac{11}{30}$．
∴X的可能取值为5，3，1，
P（X=1）=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4}$，P（X=3）=$\frac{3}{8}$，P（X=5）=$\frac{1}{120}+\frac{11}{30}$=$\frac{3}{8}$．
∴X的分布列为：

X	1	3	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

∴EX=1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{8}$+5×$\frac{3}{8}$=$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．