Question

15．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，（n+1）a²_n+1+a_n+1a_n-na${{\;}_{n}}^{2}$=0，数列{b_n}的前n项和为S_n且S_n=1-b_n．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项；
（2）令c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
①求{c_n}的前n项和T_n；
②是否存在正整数m满足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）（n+1）a²_n+1+a_n+1a_n-na${{\;}_{n}}^{2}$=0，因式分解为[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，又a_n+1+a_n＞0．可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，可得a_n．数列{b_n}的前n项和为S_n且S_n=1-b_n．n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，化为：b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1．n=1时，b₁=S₁=1-b₁，解得b₁．利用等比数列的通项公式即可得出b_n．
（2）①c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．
②假设存在正整数m满足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差数列，2c₃=c₂+c_m，代入化为：2^m-2=m．对m分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵（n+1）a²_n+1+a_n+1a_n-na${{\;}_{n}}^{2}$=0，∴[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，又a_n+1+a_n＞0．
∴（n+1）a_n+1-na_n=0，解得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n}$$•\frac{n-2}{n-1}$•$\frac{n-3}{n-2}$•…•$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{n}$．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n且S_n=1-b_n．
∴n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=1-b_n-（1-b_n-1），化为：b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1．
n=1时，b₁=S₁=1-b₁，解得b₁=$\frac{1}{2}$．
∴数列{b_n}是等比数列，首项与公比都为$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）①c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
②假设存在正整数m满足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差数列，
则2c₃=c₂+c_m，
∴$\frac{6}{{2}^{3}}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{m}{{2}^{m}}$，化为：2^m-2=m．
m=4时，满足：2^m-2=m．
m≥5时，2^m-2-m=（1+1）^m-2-m
=1+${∁}_{m-2}^{1}$+${∁}_{m-2}^{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-m
=1+m-2+$\frac{（m-2）（m-3）}{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-m
=$\frac{（m-2）（m-3）}{2}$+${∁}_{m-2}^{3}$+…-1＞0．
∴m≥5时，2^m-2-m＞0，因此2^m-2=m无解．
综上只有m=4时，满足m＞3，c₂，c₃，c_m成等差数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累积方法、方程的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．