Question

已知函数f（x）=-

1

2

x²+（a+1）x-alnx，当a＞0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求出函数的导数，再分别讨论①0＜a＜1时②a＞1时的情况，从而求出其单调区间．

解答： 解：∵f′（x）=-x+（a+1）-

a

x

，
①0＜a＜1时，
令f′（x）＞0⇒（x-a）（x-1）＜0，
解得：a＜x＜1，
令f′（x）＜0⇒（x-a）（x-1）＞0，
解得：x＞1，0＜x＜a，
∴f（x）在（a，1）上递增，在（0，a），（1，+∞）上递减，
②a＞1时，
令f′（x）＞0⇒（x-a）（x-1）＜0，
解得：1＜x＜a，
令f′（x）＜0⇒（x-a）（x-1）＞0，
解得：x＞a，0＜x＜1，
∴f（x）在（1，a）递增，在（0，1），（a，+∞）递减．
③a=1时，f（x）=-（x+

1

x

）+2≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．