Question

平面内有向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OP

=（2，1），点M（x，y）为直线OP上的一动点．
（1）用只含y的代数式表示

OM

的坐标；
（2）求

MA

•

MB

的最小值，并写出此时

OM

的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）设出

OM

的坐标，根据

OM

与

OP

共线求得x和y的关系式，进而可以用y表示出

OM

的坐标．
（2）表示出

MA

和

MB

，进而可求得

MA

•

MB

的表达式，根据二次函数的性质求得

MA

•

MB

的最小值及

OM

的坐标．

解答： 解：（1）设

OM

=（x，y），∵点M在直线OP上，
∴

OM

与

OP

共线，
∵

OP

=（2，1），
∴x-2y=0，即x=2y，
∴

OM

=（2y，y）．
（2）∵

MA

=

OA

-

OM

=（1，7）-（2y，y）=（1-2y，7-y），

MB

=

OB

-

OM

=（5-2y，（1-y），
∴

MA

•

MB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5（y-2）²-8，
∴当y=2时，

MA

•

MB

取最小值-8，此时

OM

=（4，2）．

点评：本题主要考查了平面向量的数量积的运算．要求学生也要对平面向量的运算法则能力灵活运用．