Question

已知数列{a_n}满足，a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），且a₁=0，a₂=1．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=2 an-34，求数列{|b_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a₁=0，a₂=1，依题意只需证明?n∈N^*，只需证an2+an-n(n-1)=0，即只需证a_n=n-1或a_n=-n，由此利用分析法能证明数列{a_n}是等差数列．
（2）由a_n=n-1，知bn=2n-1-34，由此能求出数列{|b_n|}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵a₁=0，a₂=1，依题意只需证明?n∈N^*，
a_n+1-a_n=a₂-a₁=1，…（1分）
∵a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），
∴an+1=

n(n-1)an

n(n-1)-an

，n＞1，
∴只需证an+1-an=

an2

n(n-1)-an

=1，n＞1．…（3分）
即只需证an2=n(n-1)-an，即只需证an2+an-n(n-1)=0，
即只需证a_n=n-1或a_n=-n，…（5分）
∵a_n=-n不符合a₂=1，∴只需证a_n=n-1．
数列{n-1}是等差数列，且满足a₁=0，a₂=1，以上各步都可逆
∴数列{a_n}是等差数列 …（7分）
（2）解：由（1）可知a_n=n-1，∴bn=2n-1-34，…（8分）
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
数列{2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{34}是常数列
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1-2n

1-2

-34n=2ⁿ-34n-1，…（9分）
令bn=2n-1-34＞0，∴n＞6，∵数列{b_n}是递增数列
∴数列{b_n}前6项为负，以后各项为正 …（10分）
∴当n≤6时，S_n=-T_n=-2ⁿ+34n+1，…（11分）
当n＞6时，S_n=T_n-2T₆=2ⁿ-34n-283．…（12分）
∴Sn=

-2n+34n+1，n≤6 2n-34n-283，n＞6

．…（13分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．