Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（Ⅱ）若圆C上存在唯一一点M，使MA=2MO，求圆C的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）先求得圆心C（3，2），再根据半径为1，可得圆的方程．用点斜式设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得k的值，可得切线方程．
（Ⅱ）可设圆心C（a，2a-4），设点M（x，y），则由MA=2MO可得x²+（y+1）²=4，设此圆为圆D．由题意可得，圆C和圆D有唯一交点，故两圆相内切或相外切，由此解得a的值，可得C的坐标，从而求得圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由

y=2x-4 y=x-1

，求得圆心C（3，2），再根据半径为1，可得圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=1．
由于切线的斜率一定存在，可设切线方程为y-3=k（x-0），即 kx-y+3=0，
由圆心到切线的距离等于半径可得

|3k-2+3|

k2+1

=1，求得k=0，或 k=-

3

4

，
故切线方程为y=3，或 3x+4y-12=0．
（Ⅱ）由于圆心在直线l：y=2x-4上，可设圆心C（a，2a-4），故原C的方程为（x-a）²+（y-2a+4）²=1．
设点M（x，y），则由MA=2MO可得

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化简可得 x²+（y+1）²=4，设此圆为圆D．
由题意可得，圆C和圆D有唯一交点，故两圆相内切或相外切，
即

a2+[(2a-4)-(-1)]2

=2-1，或

a2+[(2a-4)-(-1)]2

=2+1．
解得a=0，或a=

12

5

，故圆心为（0，-4）或（

12

5

，

4

5

），故圆C的方程为 x²+（y+4）²=1，或 (x-

12

5

)2+(y-

4

5

)2=1．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求圆的切线方程，圆和圆的位置关系的应用，属于基础题．