Question

在如图所示的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求证：AC⊥平面FBC；
（2）求四面体FBCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用（1）的结论可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性质即可得出△BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出．

解答： （1）证明：在△ABC中，∵AC=

3

，AB=2，BC=1，∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC．
∵AC⊥FB，BC∩FB=B，∴AC⊥平面FBC．
（2）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，AC∩CD=C，
∴FC⊥平面ABCD．
在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1，∴FC=1．
∴△BCD的面积S=

1

2

BD•

BC2-( 1 2 BD)2

=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

．
∴四面体FBCD的体积为：VF-BCD=

1

3

S•FC=

3

12

．

点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式是解题的关键．