Question

已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意a，b∈（0，+∞）都有f（

a

b

）=f（a）-f（b），
（1）求证：f（ab）=f（a）+f（b）；
（2）若当x＞1时，f（x）＞0，求证：函数y=f（x）在定义域上为增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法，分别令a=b=1，求得f（1）=0，再令b=

1

b

，问题得证．
（2）利用单调性的定义证明即可．

解答： 证明（1）：∵f（

a

b

）=f（a）-f（b），
令a=b=1，
则f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0
 再令b=

1

b

，
∴f（ab）=f（a）-f（

1

b

）=f（a）-f（1）+f（b）=f（a）+f（b）；
即问题得证．
（2）证明：∵对x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，有

x2

x1

＞1，
又x＞1时，f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0
故函数y=f（x）在定义域上为增函数．

点评：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．