Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA1=1，D和E分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若C₁E⊥B₁D，则线段DE长度的取值范围为（　　）

• A．[

  2

  2

  ，

  3

  2

  ]
• B．[

  3

  3

  ，1)
• C．[

  2

  2

  ，1)
• D．[

  2

  3

  ，

  2

  2

  ]

Answer 1

分析：由题设条件分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴，作空间直角坐标系，则B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），设E（t₁，0，0），D（0，t₂，0），t₁，t₂∈（0，1），则

C1E

=(t1，-1，-1)，

B1D

=(-1，t2，-1)，再由C₁E⊥B₁D，得t₁+t₂=1．由

DE

=(t1，-t2，0)，知|

DE

| =

x12+x22

=

x1 2+(1-x1)2

=

2(t1- 1 2 )2+ 1 2

，由此能求出线段DE长度的取值范围．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA1=1，D和E分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），
∴分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴，作空间直角坐标系，
则B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），
设E（t₁，0，0），D（0，t₂，0），t₁，t₂∈（0，1），
则

C1E

=(t1，-1，-1)，

B1D

=(-1，t2，-1)，
∵C₁E⊥B₁D，
∴-t₁-t₂+1=0，
即t₁+t₂=1．
∵

DE

=(t1，-t2，0)，
∴|

DE

| =

t12+t22

=

t12+(1-t1)2

=

2(t1- 1 2 )2+ 1 2

，
∵0＜t₁＜1，
∴当t1=

1

2

时，|

DE

|min=

1 2

=

2

2

，
当

lim

t→1

|

DE

| =

lim

t→1

2(t1-  1 2 )2 + 1 2

=1．
∴线段DE长度的取值范围为[

2

2

，1）．
故选C．

点评：本题考查棱柱的结构特征，是基础题．解题时要认真审题，恰当地建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．