Question

9．已知函数f（x）=（2log₄x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$），
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）求f（x）在区间[2，t]（t＞2）上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）令m=log₄x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题；
（2）根据二次函数的性质和对称轴，分类讨论即可求出最小值．

解答 解：（1）令m=log₄x，x∈[2，4]时，则m∈[$\frac{1}{2}$，1]，
则f（t）=（2m-2）（m-$\frac{1}{2}$）=2m²-3m+1=2（m-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
当m=$\frac{3}{4}$时，有最小值为-$\frac{1}{8}$，
当m=$\frac{1}{2}$或1时，有最大值为0，
∴该函数的值域为[-$\frac{1}{8}$，0]，
（2）由（1）可知f（m）=2m²-3m+1=2（m-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∵x∈[2，t]，
∴m∈[$\frac{1}{2}$，log₄t]，
当$\frac{1}{2}$≤m＜$\frac{3}{4}$时，即2≤t＜2$\sqrt{2}$时，函数f（t）在[$\frac{1}{2}$，log₄t]，单调递减，
g（t）=f（t）_min=f（log₄t）=2log₄²t-3log₄t+1
当m≥$\frac{3}{4}$时，即t≥2$\sqrt{2}$时，函数f（t）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]上单调递减，
在（$\frac{3}{4}$，log₄t]单调递增，g（t）=f（t）_min=f（$\frac{3}{4}$）=-$\frac{1}{8}$，
综上所述：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2lo{g}_{4}^{2}t-3lo{g}_{4}t+1，2≤t＜2\sqrt{2}}\\{-\frac{1}{8}，t≥2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档