Question

设f(x)=.
(1)证明:f(x)在其定义域上的单调性；
(2)证明: 方程f^-1(x)=0有惟一解；
(3)解不等式f［x(x－)］<.

Answer 1

(1) 证明略(2)证明略(3)或

由 得f(x)的定义域为(－1，1)，
易判断f(x)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明:∵f(0)=,∴f^-－1()=0,即x=是方程f^-－1(x)=0的一个解.
若方程f^-－1(x)=0还有另一个解x₀≠,则f^-－1(x₀)=0,
由反函数的定义知f(0)=x₀≠,与已知矛盾，故方程f^-－1(x)=0有惟一解 
(3)解: f［x(x－)］＜,即f［x(x－)］＜f(0).