Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（2）当a=3时，求函数h（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，知f′（x）=x+$\frac{a-1}{x}$-3，x＞0，由此能求出导函数f′（x）的最小值．
（2）当a=3时，h（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，h′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，由此列表讨论能求出函数h（x）的单调区间及极值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，
∴f′（x）=x+$\frac{a-1}{x}$-3，x＞0，
∵a＞1，∴a-1＞0，
又∵x＞0，∴x+$\frac{a-1}{x}$-3≥2$\sqrt{a-1}$-3，
当且仅当x=$\sqrt{a-1}$时，取等号，其最小值为2$\sqrt{a-1}$-3．
（2）当a=3时，h（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，h′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	-2.5	↓	2ln2-4	↑

∴函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值-2.5，在x=2处取得极小值2ln2-4．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查函数的单调区间和极值，考查学生分析解决问题的能力，正确求出导数是关键．