Question

9．底面为菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）在图中作一个平面α，使得BD?α，且平面AEF∥α，（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面．）
（II）若AB=AA₁=2，∠BAD=60°，求平面AEF与平面α的距离d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取B₁C₁的中点H，C₁D₁的中点G，平面BHGD就是所求平面α．
（Ⅱ）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面α的距离．

解答 解：（Ⅰ）取B₁C₁的中点H，C₁D₁的中点G，连结BH、GH、DH，
则平面BHGD就是所求平面α，
α与直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面为平面BHGD．
（Ⅱ）∵菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，∠BAD=60°，
∴取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），D（0，0，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），H（0，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DH}$=（0，$\sqrt{3}$，2），
设平面α（即平面BHGD）的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DH}=\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（-2$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
∴平面AEF与平面α的距离d=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{12+4+3}}$=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查满足面面平行的平面的作法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．