Question

19．在等比数列{a_n}中，${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$，且{b_n}为递增数列，若${c_n}=\frac{1}{{{b_n}^2}}$，求证：${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）讨论q=1，q≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q，和a₁，进而得到通项公式；
（2）由对数的运算性质，求得b_n=2n，化c_n≤$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）∵${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{S_3}-{a_3}={a_1}+{a_2}={a_1}（{1+q}）=3}\\{{a_3}={a_1}•q=\frac{3}{2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{q=1}\\{{a_1}=\frac{3}{2}}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{q=-\frac{1}{2}}\\{{a_1}=6}\end{array}}\right.}\right.$，
∴${a_n}=\frac{3}{2}或{a_n}=6•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$． 
（2）证明：由题意知${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}={log_2}\frac{6}{{6•{{（{-\frac{1}{2}}）}^{2n}}}}={log_2}{2^{2n}}=2n$，
∴${c_n}=\frac{1}{{{b_n}^2}}=\frac{1}{{4{n^2}}}＜\frac{1}{4n（n-1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n}}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．