Question

11．已知椭圆C₁的中心在原点，焦点在y轴上，且焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离之和为10．
（1）求椭圆C₁的标准方程和焦点坐标；
（2）若双曲线C₂与椭圆C₁有相同的焦点，且实轴长是虚轴长的一半，求双曲线C₂的标准方程及其渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出a，b，即可求出椭圆的方程和焦点坐标．
（2）求出双曲线的实轴与虚轴，然后求解双曲线方程以及渐近线方程即可．

解答 解：（1）椭圆C₁的中心在原点，焦点在y轴上，且焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离之和为10．
可得a=5，c=3，则b=4，所求椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．焦点坐标（0，±3）；
（2）双曲线C₂与椭圆C₁有相同的焦点，可得双曲线的焦距为：8，焦点坐标（0，±4），
双曲线的实轴长是虚轴长的一半，可得b=2a，a²+b²=16，解得a²=$\frac{16}{5}$，b²=$\frac{32}{5}$，
所求的双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{32}{5}}=1$，
双曲线的渐近线方程为：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$．

点评 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，椭圆方程以及双曲线方程的求法，考查计算能力．