Question

6．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），过点$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$和点B（0，-1）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线y=x+m与椭圆G相交于不同的两点M，N，是否存在实数m，使得|BM|=|BN|？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得b，把点的坐标代入椭圆方程求得a，则椭圆方程可求；
（2）假设存在实数m满足题设，联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于0求得m的范围，再由根与系数的关系求得MN的中点P坐标，进一步求得PB的斜率结合|BM|=|BN|，可得BP⊥MN．由斜率的关系列式求得m值，说明不存在这样的实数m，使得|BM|=|BN|．

解答 解：（1）椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），过点$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$和点B（0，-1），
∴b=1，由$\frac{1}{a^2}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}）}^2}}}{1}=1$，得a²=3．
∴椭圆G的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）假设存在实数m满足题设，由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1.\end{array}\right.$得4x²+6mx+3（m²-1）=0．
∵直线与椭圆有两个交点，∴△=36m²-48（m²-1）＞0，即m²＜4，…①
设MN的中点为P（x_p，y_p），x_M，x_N分别为点M，N的横坐标，
则${x_p}=\frac{{{x_M}+{x_N}}}{2}=-\frac{3m}{4}$，从而${y_p}={x_p}+m=\frac{m}{4}$，
∴${k_{BP}}=\frac{{{y_p}+1}}{x_p}=-\frac{m+4}{3m}$．
∵|BM|=|BN|，
∴BP⊥MN．
∴k_BP•k_MN=-1，而k_MN=1．
∴$-\frac{m+4}{3m}=-1$，即m=2，与①矛盾．
因此，不存在这样的实数m，使得|BM|=|BN|．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．