Question

1．已知函数$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx（a∈R）$，g（x）=-$\frac{a}{x}$，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使f（x₀）＞g（x₀）成立，则实数a的范围为（　　）

• A． [$\frac{2}{e}$，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． （$\frac{2}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意得：f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，分离参数，求最值，即可求出实数a的范围．

解答 解：由题意得：f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
即$ax-2lnx＞0，a＞{（\frac{2lnx}{x}）_{min}}$，
设$y=\frac{2lnx}{x}$，则$y'=\frac{2（1-lnx）}{x^2}≥0$，
因此当x=1时，${（\frac{2lnx}{x}）_{min}}=0，a＞0$，
故选：B．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查学生等价转化问题的能力，转化为f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，分离参数，求最值是关键．