Question

11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（2），f（3）f（4）f（5）并猜测f（n）的表达式；
（2）求证：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（2），f（3），f（4），f（5）；总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；
（2）根据通项特点，利用裂项法求和，结合数列的单调性即可得证．

解答 解：（1）∵f（1）=1，
f（2）=5，
f（3）=13，
f（4）=25，
∴f（5）=25+4×4=41．
∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1（n≥2），
又n=1时，f（1）也适合f（n）．
∴f（n）=2n²-2n+1．--------（6分）
证明：（2）当n≥2时，$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-2n+1-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．